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函数定义域的类型和解题方法

来源:101教育网整理 2017-11-24 字体大小: 分享到:

  本文介绍函数定义域的类型和求法,目的在于使学生全面认识定义域,深刻理解定义域,正确求函数的定义域。现举例说明。

  一、常规型

  即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。

  例求函数函数定义域的类型和解题方法的定义域。

  解:要使函数有意义,则必须满足

    函数定义域的类型和解题方法


    由①解得 函数定义域的类型和解题方法函数定义域的类型和解题方法。 ③

    由②解得 函数定义域的类型和解题方法函数定义域的类型和解题方法

    ③和④求交集得函数定义域的类型和解题方法函数定义域的类型和解题方法x>5

    故所求函数的定义域为函数定义域的类型和解题方法



  例求函数函数定义域的类型和解题方法的定义域。

  解:要使函数有意义,则必须满足

    函数定义域的类型和解题方法

    由①解得函数定义域的类型和解题方法

    由②解得函数定义域的类型和解题方法

    由③和④求公共部分,得

    函数定义域的类型和解题方法

    故函数的定义域为函数定义域的类型和解题方法

    评注:③和④怎样求公共部分?你会吗?


  二、抽象函数型

  抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。


  (1)已知函数定义域的类型和解题方法的定义域,求函数定义域的类型和解题方法的定义域。

    其解法是:已知函数定义域的类型和解题方法的定义域是[ab]求函数定义域的类型和解题方法的定义域是解函数定义域的类型和解题方法,即为所求的定义域。

  例已知函数定义域的类型和解题方法的定义域为[-22],求函数定义域的类型和解题方法的定义域。

    解:令函数定义域的类型和解题方法,得函数定义域的类型和解题方法,即函数定义域的类型和解题方法,因此函数定义域的类型和解题方法,从而函数定义域的类型和解题方法,故函数的定义域是函数定义域的类型和解题方法


  (2)已知函数定义域的类型和解题方法的定义域,求f(x)的定义域。

    其解法是:已知函数定义域的类型和解题方法的定义域是[ab],求f(x)定义域的方法是:由函数定义域的类型和解题方法,求g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。



  例已知函数定义域的类型和解题方法的定义域为[12],求f(x)的定义域。

  解:因为函数定义域的类型和解题方法


    即函数f(x)的定义域是函数定义域的类型和解题方法


  三、逆向型


  即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

  例已知函数函数定义域的类型和解题方法的定义域为R求实数m的取值范围。

  分析:函数的定义域为R,表明函数定义域的类型和解题方法,使一切xR都成立,由函数定义域的类型和解题方法项的系数是m,所以应分m=0函数定义域的类型和解题方法进行讨论。

  解:当m=0时,函数的定义域为R

    当函数定义域的类型和解题方法时,函数定义域的类型和解题方法是二次不等式,其对一切实数x都成立的充要条件是

    函数定义域的类型和解题方法

    综上可知函数定义域的类型和解题方法


    评注:不少学生容易忽略m=0的情况,希望通过此例解决问题。



  例已知函数函数定义域的类型和解题方法的定义域是R,求实数k的取值范围。

  解:要使函数有意义,则必须函数定义域的类型和解题方法0恒成立,因为函数定义域的类型和解题方法的定义域为R,即函数定义域的类型和解题方法无实数

    ①当k0时,函数定义域的类型和解题方法恒成立,解得函数定义域的类型和解题方法

    ②当k=0时,方程左边=30恒成立。

    综上k的取值范围是函数定义域的类型和解题方法


  四、实际问题型

  这里函数的定义域除满足解析式外,还要注意问题的实际意义对自变量的限制,这点要加倍注意,并形成意识。


  例将长为a的铁丝折成矩形,求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式,并求函数的定义域。

  解:设矩形一边为x,则另一边长为函数定义域的类型和解题方法于是可得矩形面积。

    函数定义域的类型和解题方法


    函数定义域的类型和解题方法

    由问题的实际意义,知函数的定义域应满足

    函数定义域的类型和解题方法

    函数定义域的类型和解题方法


  故所求函数的解析式为函数定义域的类型和解题方法,定义域为(0函数定义域的类型和解题方法)。



  例用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架,如图,若矩形底边长为2x,求此框架围成的面积yx的函数关系式,并求定义域。

函数定义域的类型和解题方法

  解:由题意知,此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积,如图。


    因为CD=AB=2x,所以函数定义域的类型和解题方法,所以函数定义域的类型和解题方法

    故函数定义域的类型和解题方法


    函数定义域的类型和解题方法

    根据实际问题的意义知

    函数定义域的类型和解题方法


    故函数的解析式为函数定义域的类型和解题方法,定义域(0函数定义域的类型和解题方法)。


  五、参数型

  对于含参数的函数,求定义域时,必须对分母分类讨论。


  例已知函数定义域的类型和解题方法的定义域为[01],求函数函数定义域的类型和解题方法的定义域。

  解:因为函数定义域的类型和解题方法的定义域为[01],即函数定义域的类型和解题方法。故函数函数定义域的类型和解题方法的定义域为下列不等式组的解集:

    函数定义域的类型和解题方法,即函数定义域的类型和解题方法


    即两个区间[-a1a]与[a1+a]的交集,比较两个区间左、右端点,知

    (1)当函数定义域的类型和解题方法时,Fx)的定义域为函数定义域的类型和解题方法

    (2)当函数定义域的类型和解题方法时,Fx)的定义域为函数定义域的类型和解题方法

    (3)当函数定义域的类型和解题方法函数定义域的类型和解题方法时,上述两区间的交集为空集,此时Fx)不能构成函数。


  六、隐含型

  有些问题从表面上看并不求定义域,但是不注意定义域,往往导致错解,事实上定义域隐含在问题中,例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此,求函数的单调区间,必须先求定义域。


  例10 求函数函数定义域的类型和解题方法的单调区间。

  解:由函数定义域的类型和解题方法,即函数定义域的类型和解题方法,解得函数定义域的类型和解题方法。即函数y的定义域为(-13)。

    函数函数定义域的类型和解题方法是由函数函数定义域的类型和解题方法复合而成的。


    函数定义域的类型和解题方法,对称轴x=1,由二次函数的单调性,可知t在区间函数定义域的类型和解题方法上是增函数;在区间函数定义域的类型和解题方法上是减函 数,而函数定义域的类型和解题方法在其定义域上单调增;

函数定义域的类型和解题方法,所以函数函数定义域的类型和解题方法在区间函数定义域的类型和解题方法上是增函数,在区间函数定义域的类型和解题方法上是减函数。



标签: 解题方法 函数定义域 (责任编辑: 米露 )
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