2014年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
一、 选择题
（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C （7）D
（ 8）D （9）B （10）D （11）C （12）C
二、 填空题
（13）
（14）1 （15）（-1,3） （16）[-1，1]
三、解答题 （17）解：（1）由
得
又
，所以，{
} 是首项为
，公比为3的等比数列。
=
，因此{
}的通项公式为
=
（2）由（1）知
=
因为当n
1时，
所以，
于是，
=
所以，
（18）解：（1）连结BD交AC于点O,连结EO因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为的PD的中点，所以EO
PBEO
平面AEC,PB
平面AEC，所以PB
平面AEC（2）因为PA
平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直如图，以A为坐标原点，
的方向为x轴的正方向，
为单位长，建立空间直角坐标系，则A—xyz,则D(0,
,0),则E(0, 
,
),
=(0, 
,
)
设B(m,0,0)(m＞0)，则C（m, 
，0）设n(x,y,z)为平面ACE的法向量，则{
即{ 
可取
=（
,-1, 
）又
=（1,0,0）为平面DAE的法向量，由题设
=
，即
=
，解得m=
因为E为PD的中点，所以三棱锥E-ACD的高为，三棱锥E-ACD的体积为V=
=
19解：
（1） 由所得数据计算得
=
（1+2+3+4+5+6+7）=4，
=(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3
=9+4+1+0+1+4+9=28
=(-3) （-1.4）+（-2）（-1）+（-1）（-0.7）+00.1+10.5+20.9+31.6=14，
b=
=
=0.5
a=
-b
=4.3-0.54=2.3
所求回归方程为
=0.5t+2.3
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，b=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.
将2015年的年份代号t=9代入（1）中的回归方程，得
y=0.5×9+2.3=6.8
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元
（20）解：
（Ⅰ）根据c=
以及题设知M（c，
），2
=3ac
将=
-
代入2=3ac，解得
=
，=-2（舍去）
故C的离心率为
（Ⅱ）由题意，原点O的
的中点，M
∥y轴，所以直线M
与y轴的交点D是线段M的中点，故=4，即
①
由
=
得
=
设N（x，y），由题意可知y<0,则
即
代入方程C，得
+
=1 ②
将①以及c=代入②得到+
=1
解得a=7， 
a=7，
（21）解
（Ⅰ）
+
-2≥0，等号仅当x=0时成立，所以f（x）在（—∞，+∞）单调递增
（Ⅱ）g（x）=f(2x)-4bf(x)=
-
-4b(
-)+(8b-4)x
(x)=2[+
+
]=2(+
)(
+
)
（1） 当b
2时，g’(x) 
0,等号仅当x=0时成立，所以g(x)在(-
,+
)单调递增，而g(0)=0，所以对任意x>0,g(x)>0;
（2） 当b>2时，若x满足，2< 
<2b-2即 0<x<ln(b-1+
)时g’(x)<0,而
g（0）=0,因此当0<X
ln(b-1+
)时，g(x)<0
综上，b的最大值为2
（3） 由（2）知，g(ln
)=
-2
b+2(2b-1)ln2
当b=2时，g(ln
)=
-4
+6ln2>0,ln2>
>0.6928
当b=
+1时，ln(b-1+
)=ln
g(ln
)=
-2
+(3
+2)ln2<0
in2<
<0.693
(22)解：
（1）连结
AB,
AC由题设知PA=PD,故PAD=PDA
因为PDA=DAC+DCA
PAD=BAD+PAB
DCA=PAB
所以DAC=BAD,从而。。。。。。。
因此
=
（2）由切割线定理得
=PB*PC因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB由相交弦定理得AD*DE=BD*DC所以，AD*DE=2 
(23)解：（1）C的普通方程为 
+
=1(0
)可得C的参数方程
（t为参数，0
（Ⅱ）设D（1+cost,sint).由（Ⅰ）知C是以G（1,0）为圆心，1为半径的上半圆。因为C在点D处的切线与I垂直，所以直线GD与I的斜率相同。 tant=
，t=π/3.故D的直角坐标为（1+cosπ/3，sinπ/3）,即（3/2, /2）. (24)解：（Ⅰ）由a>0,有f（x）=｜x+1/a｜+｜x-a｜≥｜x+1/a-(x-a)｜=1/a+a≥2.所以f（x）≥2.（Ⅱ）f（x）=｜3+1/a｜+｜3-a｜.当a＞3时，f（3）=a+1/a，由f（3）＜5得3＜a＜
当0<a≤3时，f（3）=6-a+
，f（3）<5得
<a≤3综上所诉，a的取值范围为（
）
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