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3x+1问题5——启发式论证

来源:101教育 2016-11-09 字体大小: 分享到:

  五、启发式论证

  数学中有一种叫“启发式”的论证方法,建立在估计和概率的手段上。比如说底下的论证方法就是这个类型的:

  “每个数字要么是奇数要么是偶数,如果随便取一个自然数,碰到奇数和偶数的可能性是一样的。如果我们把一次航班中这一系列数值看作是随机的话,那么使用奇变换和偶变换的可能性也是一样的,所以平均在每两次变换中我们有一次是n→3n+1,有一次是n→n/2.所以平均起来,每次飞行高度的变化就是乘以3/2,于是……就会越飞越高。”

  这样的启发式论证就推翻了原来的猜想!但是这个论证显然比较幼稚,因为它没有考虑到,每一次奇变换后随即而来的一定是一次偶变换,因为如果n是奇数的话,3n+1一定是偶数;而每一次偶变换后随即而来的却不一定是一次奇变换。J. Lagarias改进了这个启发式论证。他指出,如果我们把奇变换后再作偶变换考虑在一起,那么这样得到的结果可以看作是真的“很随机”。于是有1/2的可能性它是奇数,有1/4的可能性是一个奇数的2倍,有1/8的可能性是一个奇数的4倍,等等。于是飞行高度的变化就是以下变换的“平均效应”;

  ——n乘以3/2,这有1/2的可能(奇变换后再作偶变换的结果为奇数);——n乘以3/4,这有1/4的可能(奇变换后再作两次偶变换);——n乘以3/8,这有1/8的可能(奇变换后再作三次偶变换);…………

  于是平均来讲,每次变换后高度的变化就是c=(3/2)1/2(3/4)1/4(3/8)1/8(3/16)1/16……=3/4所以高度在总体上来说应该是越来越低,每次大约低25%,最终降到一个循环上(不过这个论证没有排除有除了4→2→1以外的其他循环)。这个论证可以使我们使用论证中的模型来计算出,从一个自然数开始,平均要多少步的这样的飞行(就是保持高度航程中奇变换的次数),可以使飞行高度降到起始点以下。理论上的数值是3.49265……。如果我们对3到2000000000(二十亿)之间的航班的保持高度航程中奇变换的次数取平均值,我们得到3.4926……。这两个结果惊人的一致性使我们相信上面的启发性模型是正确的。如果它是正确的,那么就意味着没有保持高度航程无限的航班,于是3x+1猜想就是正确的,至少可以得出没有飞得越来越高的航班的结论。

  可是一个启发性论证,就算再有实验证据来表明它是对的,也只不过是个论证,只能使我们对猜想的正确性更充满信心。它不能代替真正的数学证明。比如说,数学家猜想在π的十进位小数表示当中,出现0到9各个数字的可能性是一样的,对π的数值计算也强烈支持这个猜想,可是如果没有数学证明,它还是得被叫做一个猜想,而不是定理。

  用上面这个启发式的概率模型,我们还可以预言,对于第n次航班,它的最大飞行高度不会超过Kn2(对于某个常数K)。数值计算表明对于K=8,这个公式是正确的(同样地,这可以让我们提出猜想,而不是证明定理)。

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标签: 数学 公式 概率 (责任编辑:101教育小编)

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