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数学的公理化

来源:101教育 2016-11-09 字体大小: 分享到:

  十九世纪末到二十世纪初,数学已发展成为一门庞大的学科,经典的数学部门已经建立起完整的体系:数论、代数学、几何学、数学分析。数学家开始探访一些基础的问题,例如什么是数?什么是曲线?什么是积分?什么是函数?……另外,怎样处理这些概念和体系也是问题。

  经典的方法一共有两类。一类是老的公理化的方法,不过非欧几何学的发展,各种几何学的发展暴露出它的许多毛病;另一类是构造方法或生成方法,这个办法往往有局限性,许多问题的解决不能靠构造。尤其是涉及无穷的许多问题往往靠逻辑、靠反证法、甚至靠直观。但是,哪些靠得住,哪些靠不住,不加分析也是无法断定的。

  对于基础概念的分析研究产生了一系列新领域—抽象代数学、拓扑学、泛函分析、测度论、积分论。而在方法上的完善,则是新公理化方法的建立,这是希尔伯特在1899年首先在《几何学基础》中做出的。

  1  初等几何学的公理化

  十九世纪八十年代,非欧几何学得到了普遍承认之后,开始了对于几何学基础的探讨。当时已经非常清楚,欧几里得体系的毛病很多:首先,欧几里得几何学原始定义中的点、线、面等不是定义;其次,欧几里得几何学运用许多直观的概念,如“介于……之间”等没有严格的定义;另外,对于公理系统的独立性、无矛盾性、完备性没有证明。

  在十九世纪八十年代,德国数学家巴士提出一套公理系统,提出次序公理等重要概念,不过他的体系中有的公理不必要,有些必要的公理又没有,因此他公理系统不够完美。而且他也没有系统的公理化思想,他的目的是在其他方面——想通过理想元素的引进,把度量几何包括在射影几何之中。

  十九世纪八十年代末期起,皮亚诺和他的学生们也进行了一系列的研究。皮亚诺的公理系统有局限性;他的学生皮埃利的“作为演绎系统的几何学”(1899),由于基本概念太少(只有“点”和“运动”)而把必要的定义和公理弄得极为复杂,以致整个系统的逻辑关系极为混乱。

  希尔伯特的《几何学基础》的出版,标志着数学公理化新时期的到来。希尔伯特的公理系统是其后一切公理化的楷模。希尔伯特的公理化思想极深刻地影响其后数学基础的发展,他这部著作重版多次,已经成为一本广为流传的经典文献了。

  希尔伯特的公理系统与欧几里得及其后任何公理系统的不同之处,在于他没有原始的定义,定义通过公理反映出来。这种思想他在1891年就有所透露。他说:“我们可以用桌子、椅子、啤酒杯来代替点、线、面”。当然,他的意思不是说几何学研究桌、椅、啤酒怀,而是在几何学中,点、线、面的直观意义要抛掉,应该研究的只是它们之间的关系,关系由公理来体现。几何学是对空间进行逻辑分析,而不诉诸直观。

  希尔伯特的公理系统包括二十条公理,他把它们分为五组:第一组八个公理,为关联公理(从属公理);第二组四个公理,为次序公理;第三组五个公理;第四组是平行公理;第五组二个,为连续公理。

  希尔伯特在建立公理系统之后,首要任务是证明公理系统的无矛盾性。这个要求很自然,否则如果从这个公理系统中推出相互矛盾的结果来,那么这个公理系统就会毫无价值。希尔伯特在《几何学基础》第二章中证明了他的公理系统的无矛盾性。这次,他不能象非欧几何那样提出欧氏模型,他提出的是算术模型。

  实际上,由解析几何可以把点解释为三数组(可以理解为坐标(x、y、z)),直线表示为方程,这样的模型不难证明是满足所有20个公理的。因此,公理的推论若出现矛盾,则必定在实数域的算术中表现出来。这就把几何学公理的无矛盾性变成实数算术的无矛盾性。

  其次,希尔伯特考虑了公理系统的独立性,也就是说公理没有多余的。一个公理如果由其他公理不能推出它来,它对其他公理是独立的。假如把它从公理系统中删除,那么有些结论就要受到影响。希尔伯特证明独立性的方法是建造模型,使其中除了要证明的公理(比如说平行公理)之外其余的公理均成立,而且该公理的否定也成立。

  由于这些公理的独立性和无矛盾性,因此可以增减公理或使其中公理变为否定,并由此得出新的几何学。比如平行公理换成其否定就得到非欧几何学;阿基米德公理(大意是一个短线段经过有限次重复之后,总可以超出任意长的线段)换成非阿基米德的公理就得到非阿基米德几何学。希尔伯特在书中详尽地讨论了非阿基米德几何学的种种性质。

  希尔伯特对初等几何公理的无矛盾性是相对于实数的无矛盾性,因此自然要进一步考虑实数系的公理化及其无矛盾性,于是首当其冲的问题是算术的公理化。

  2  算术的公理化

  数学,顾名思义是一门研究数的科学。自然数和它的计算——算术是数学最明显的出发点。历史上不少人认为,所有经典数学都可以从自然数推导出来。可是,一直到十九世纪末,却很少有人解释过什么是数?什么是0?什么是1?这些概念被认为是最基本的概念,它们是不是还能进一步分析,这是一些数学家关心的问题。因为一旦算术有一个基础,其他数学部门也就可以安安稳稳建立在算术的基础上。

  什么东西可以做为算术的基础呢?在历史上有三种办法:康托尔的基数序数理论,他把自然数建立在集合论的基础上,并把自然数向无穷推广;弗雷格和罗素把数完全通过逻辑词汇来定义,把算术建立在纯逻辑的基础上;用公理化的方法通过数本身的性质来定义,其中最有名的是皮亚诺公理。

  在皮亚诺之前,有戴德金的公理化定义。他的方法是准备向有理数、实数方面推广,为数学分析奠定基础。他们也都注意到逻辑是基础,但都有非逻辑公理。

  1888年,戴德金发表《什么是数,什么是数的目的?》一文,阐述他的数学观点。他把算术(代数、分析)看成逻辑的一部分,数的概念完全不依赖人对空间、时间的表象或直觉。他说“数是人类心灵的自由创造,它们做为一个工具,能使得许许多多事物能更容易、更精确地板掌握”。而创造的方法正是通过逻辑。他的定义是纯逻辑概念——类(System),类的并与交,类之间的映射,相似映射(不同元素映到不同元素)等等。通过公理定义,戴德金证明数学归纳法。但是他没有能够直接从纯逻辑名词来定义数。

  1889年,皮亚诺发表他的《算术原理:新的论述方法》,其中明显地做了两件事:第一,把算术明显地建立在几条公理之上;第二,公理都用新的符号来表达。后来皮亚诺刻划数列也同弗雷格一样是从0开始,但是他对数的概念也同戴德金一样,是考虑序数。

  皮亚诺的兴趣主要在于清楚地表述了数学结果,他编制的数理逻辑符号(1894年发表于《数学论集》)也主要是如此,而不是为了哲学分析。1900年罗素从皮亚诺学习这套符号之后,才对逻辑、哲学同时也对数学产生了巨大冲击。

  从1894年到1908年,皮亚诺接连五次出版了《数学论集》的续集,每一次都把他提出的五个公理(只是用0代1)作为算术的基础。但是皮亚诺除了逻辑符号之外,还有其他三个基本符号,即:数、零、后继。因此,他还不象弗雷格及罗素那样把数完全建立在逻辑基础上。

  他的公理系统也是有毛病的,特别是第五公理涉及所有性质,因此须要对性质或集合有所证明。有人把它改为可数条公理的序列,这样一来,由公理系所定义的就不单纯是自然数了。斯科兰姆在1934年证明,存在皮亚诺公理系统购非标准模型,这样就破坏了公理系统的范畴性。

  3  其他数学对象的公理化

  在十九世纪末到二十世纪初的公理化浪潮中,一系列数学对象进行了公理化,这些公理化一般在数学中进行。例如由于解代数方程而引进的域及群的概念,在当时都是十分具体的,如置换群。只有到十九世纪后半叶,才逐步有了抽象群的概念并用公理刻划它。群的公理由四条组成,即封闭性公理、两个元素相加(或相乘)仍对应唯一的元素、运算满足结合律、有零元素及逆元素存在。

  群在数学中是无处不在的,但是抽象群的研究一直到十九世纪末才开始。当然,它与数理逻辑有密切的关系。有理数集体、实数集体、复数集体构成抽象域的具体模型,域的公理很多。另外,环、偏序集合、全序集合、格、布尔代数,都已经公理化。

  另一大类结构是拓扑结构,拓扑空间在1914年到1922年也得到公理化,泛函分析中的希尔伯特空间,巴拿赫空间也在二十年代完成公理化,成为二十世纪抽象数学研究的出发点。在模型论中,这些数学结构成为逻辑语句构成理论的模型。

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标签: 数学 3+3 历史 数学分析 数学归纳法 (责任编辑:101教育小编)

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