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寻找数学的基础:集合论的创立(2)

来源:101教育 2016-11-09 字体大小: 分享到:

  2  集合论简介

  有限和无穷的这个特点可以从下面的小故事反映出来,这个故事据说是希尔伯特说的。

  某一个市镇只有一家旅馆,这个旅馆与通常旅馆没有不同,只是房间数不是有限而是无穷多间,房间号码为1,2,3,4,……我们不妨管它叫希尔伯特旅馆。这个旅馆的房间可排成一列的无穷集合(1,2,3,4,…),称为可数无穷集。

  有一天开大会,所有房间都住满了。后来来了一位客人,坚持要住房间。旅馆老板于是引用“旅馆公理”说:“满了就是满了,非常对不起!”。正好这时候,聪明的旅馆老板的女儿来了,她看见客人和她爸爸都很着急,就说:“这好办,请每位顾客都搬一下,从这间房搬到下一间”。于是1号房间的客人搬到2号房间,2号房间的客人搬到3号房间……依此类推。最后1号房间空出来,请这位迟到的客人住下了。

  第二天,希尔伯特旅馆又来了一个庞大的代表团要求住旅馆,他们声称有可数无穷多位代表一定要住,这又把旅馆经理难住了。老板的女儿再一次来解围,她说:“您让1号房间客人搬到2号,2号房间客人搬到4号……,k号房间客人搬到2k号,这样,1号,3号,5号,……房间就都空出来了,代表团的代表都能住下了。”

  过一天,这个代表团每位代表又出新花招,他们想每个人占可数无穷多间房来安排他们的亲戚朋友,这回不仅把老板难住了,连女儿也被难住了。聪明的女儿想了很久,终于也想出了办法。(因为比较繁琐,这里不详细介绍了)

  希尔伯特旅馆越来越繁荣,来多少客人都难不倒聪明的老板女儿。后来女儿进了大学数学系。有一天,康托尔教授来上课,他问:“要是区间[0,1]上每一点都占一个房间,是不是还能安排?”她绞尽脑汁,要想安排下,终于失败了。康托尔教授告诉她,用对角线方法证明一切想安排下的方案都是行不通的。

  由康托尔的定理,可知无穷集合除了可数集台之外还有不可数集合,可以证明:不可数集合的元素数目要比可数集合元素数目多得多。为了表示元素数目的多少,我们引进“基数”也称“势”的概念,这个概念是自然数的自然推广。可以与自然数集合N一一对应的所有集合的共同性质是它们都具有相同的数目,这是最小的无穷基数记做ω。(ω是希伯来文字母第一个,读做阿列夫)。同样,连续统(所有实数或[0,1]区间内的所有实数集合)的基数是C.康托尔还进一步证明,C=2ω。,问题是C是否紧跟着ω。的第二个无穷基数呢?这就是所谓连续统假设。

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标签: 数学 3+3 (责任编辑:101教育小编)

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