2020高考备考

高考

101教育热线电话
400-6869-101
微信
当前位置: 高考> 高考备考> 高考各科复习> 高考数学> 高考数学知识点

悖论及其解决方案(1)

来源:101教育 2016-11-09 字体大小: 分享到:

  小编注:“悖论”——听起来多像魔鬼设下的圈套,它甚至动摇了许多数学家的信仰。来看看是怎么回事吧!

  1、一连串悖论的出现

  罗素的悖论以其简单明确震动了整个数学界,造成第三次数学危机。但是,罗素悖论并不是头一个悖论。老的不说,在罗素之前不久,康托尔和布拉里·福蒂已经发现集合论中的矛盾。罗素悖论发表之后,更出现了一连串的逻辑悖论。这些悖论使入联想到古代的说谎者悖论。即“我正在说谎”,“这句话是谎话”等。这些悖论合在一起,造成极大问题,促使大家都去关心如何解决这些悖论。

  头一个发表的悖论是布拉里·福蒂悖论,这个悖论是说,序数按照它们的自然顺序形成一个良序集。这个良序集合根据定义也有一个序数Ω,这个序数Ω由定义应该属于这个良序集。可是由序数的定义,序数序列中任何一段的序数要大于这段之内的任何序数,因此Ω应该比任何序数都大,从而又不属于Ω。这是布拉里·福蒂1897年3月28日在巴洛摩数学会上宣读的一篇文章里提出的。这是头一个发表的近代悖论,它引起了数学界的兴趣,并导致了以后许多年的热烈讨论。有几十篇文章讨论悖论问题,极大地推动了对集合论基础的重新审查。

  布拉里·福蒂本人认为这个矛盾证明了这个序数的自然顺序只是一个偏序,这与康托尔在几个月以前证明的结果序数集合是全序相矛盾,后来布拉里·福蒂在这方面并没有做工作。

  罗素在他的《数学的原理》中认为,序数集虽然是全序,但并非良序,不过这种说法靠不住,因为任何给定序数的初始一段都是良序的。法国逻辑学家茹尔丹找到—条出路,他区分了相容集和不相容集。这种区分实际上康托尔已经私下用了许多年了。不久之后,罗素在1905年一篇文章中对于序数集的存在性提出了疑问,策梅罗也有同样的想法,后来的许多人在这个领域都持有同样的想法。

  布拉里·福蒂文章中对良序集有一个错误的概念,这个概念是康托尔1883年引进来的,但—直没有受到什么重视。1887年8月,在布拉里·福蒂的文章发表以后,阿达马在第一次国际数学家大会上仍然给出了一个错误的良序集的定义。因为布拉里。福蒂所考虑的关于良序集的概念太弱了,他不得不引进自己的完全序。这两个概念并不一致,每一个良序集是完全序集,但是反过来不对。布拉里·福蒂很快就认识到他的错误,他在1897年10月的一篇文章中指出这两个概念的不同,但是他没有重新检查自己的证明。一直到1906年初他给库图拉的—封信中,他似乎还认为:一旦良序集和完全序集的区别被人们认识到,在他的文章中揭示的矛盾就会消除。

  康托尔1899年7月28日给戴德金的信中,谈到布拉里·福蒂所提到的矛盾,这个矛盾并没有导致康托尔放弃集合的良序性,而放弃了它的集合性。他把集合分为两类:相容集合和不相容集合,而只把前者叫做集合。这种区分法预示了冯·诺依曼在1925年引进的集合和类的区别。但是康托尔对于这种区分的判断标准仍然是不精确的。如果我们把一个集体考虑为一个对象而没有矛盾,它是一个集合。这个想法后来改进为:当一个集体是另一个集体的元素,它是一个集合。

  这种相容集体和不相容集体的区别早已被施罗德引进来。他认为如果集体的元素彼此是相容的,它是相容的;而如果集体的元素彼此是不相容的,它是不相容的。有趣的是施罗德引进的这种区分和悖论没有关系,因为这种现代形式的悖论当时还不知道。康托尔关于集体的叙述——两个等价的集体或者都是集合,或者都是不相容的,可以看成是取代公理的最早的表述。这个公理是弗兰克尔和斯科兰姆在1922年提出的。

  布拉里·福蒂的悖论揭示了康托尔集合论的矛盾。其实,康托尔本人在这之前已经意识到集合论的内在矛盾。他在1899年7月28日给戴德金的信中指出,不能谈论由一切集合构成的集合,否则就会陷入矛盾。这实际上就是罗素悖论的内容。

  康托尔最大基数悖论和布拉里·福蒂悖论到罗素悖论都是集合论悖论,它们直接同康托尔朴素集合论的不严格性有关。毛病出在集合的定义上,也就是任何性质就对应一个具有这种性质的集合,这就是所谓内函公理组。集合论的这种矛盾必须通过削弱这个错误的公理组才能解决。

  罗素的悖论发表之后,接着又发现一系列悖论(后来归入所谓语义悖论):

  1、理查德悖论。法国第戎中学教师理查德在1905年发表了一个悖论,大意如下:法语中某些片语表示实数,比如“一个圆的圆周与直径之比”就表示实数π。法语字母也象英语字母一样有一定的顺序,所以我们可以把所有片语按照字母顺序排列,然后按照片语中字母的多少排列,少的在前,多的在后。这样我们把能用片语表达的实数排成一个序列,al,a2,a3,……。于是就得到了所有能用有限多字(字母)定义的数了。它们构成了一个可数集合E.现在我们提出一个规则把这个序列改变一下造成一个数来:“设E中第n个数的第n位为p,我们造一个实数如下:其整数部分为0,如果p不是8或9;其第n位小数为p+1,要是p是8或9的话,则第n位变成1”。这个实数显然不属于E,因为它和E中每个数都不一样。但是它们却可以由上面有限多个字组成的话来表示,因此应该属于E,这就出现矛盾。

  理查德提出的悖论是因为看到法国《纯粹科学与应用科学通论》1905年3月30日一期的编者按语而写的。编者谈到,1904年8月在德国海德尔堡召开的国际数学家大会上,德国数学家寇尼格证明连续统是不能够良序化的。可是一个月后,德国数学家策梅罗却证明了任何集合都能良序化,理查德从这段话中看到了集合论中存在“某些矛盾”,这些矛盾和良序性和序数的概念有关系,于是他给该刊物编辑部写了一封信,登在1905年6月号上,编者还加了按语。

  2、培里悖论。培里是英国的图书馆管理员。有一天他告诉罗素下面的悖论:英语中只有有限多个音节,只有有限多英语表达式包含少于40个音节,所以,用少于40个音节的表达式表示的正数数目只有有限多个。假设R为不能由少于40个普的英语表达式来表示的最小正整数(The least positive integer which is not denotedby an  expression in the English language containing fewer than forty  syllables)。但是,这段英语只包含三十几个音节,肯定比40个少,而且表示R,这自然产生了矛盾。

  3.格瑞林和纳尔逊悖论。纳尔逊是新康德主义的小流派之一弗瑞斯派的代表。1908年他和他的学生格瑞林把下面的悖论发表在弗瑞斯派的一个文集上,通常称为格瑞林悖论。如果一个形容词所表示的性质适用于这个形容词本身,比如“黑的”两字的确是黑的,那么这个形容词称为自适用的。反之,一个形容词如果不具有自适用的性质,就叫做非自适用的。在英语中:“Polysyllabic”(多音节的),“English”(英语的)这些词都是自适用的形容词,而“monosyllabic”(单音节的)、“French”(法语的)这些词就是非自适用的。现在我们来考虑“非自适用的”这个形容词,它是自适用的还是非自适用的呢?如果“非自运用的”是非自适用的,那么它就是自适用的;如果“非自适用的”是自适用的,那么按照这词的意思,则它是非自适用的,这就导出矛盾。

上一篇:数学符号化的扩充:数理逻辑的兴起(1)

下一篇:数学文化——理性文明的火车头(二)

2020高考备考
标签: 数学 逻辑学 英语 3+3 (责任编辑:101教育小编)

寒假学习资料限时领

姓名
手机号
年级
*图形验证码
获取验证码
免费预约
网校期末提升