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三角函数的性质及三角恒等变形

来源:未知 2013-04-12 字体大小: 分享到:

一. 本周教学内容:三角函数的性质及三角恒等变形

【考点梳理】

一、本章考试内容

1. 角的概念的推广,弧度制.

2. 任意角的三角函数、单位圆中的三角函数、同角三角函数的基本关系、正弦、余弦的诱导公式.

3. 两角和与差的正弦、余弦、正切,二倍角的正弦、余弦、正切.

4. 正弦函数、余弦函数的图像和性质、周期函数、函数y=Asin(mega;x )的图像、正切函数的图像和性质、已知三角函数值求角.

5. 余弦定理、正弦定理.利用余弦定理、正弦定理解斜三角形.

二、本章考试要求

1. 理解任意角的概念、弧度制的意义,并能正确地进行弧度和角度的换算.

2. 掌握任意角的三角函数的定义,了解余切、正割、余割的定义,掌握同角三角函数的基本关系,掌握正弦、余弦的诱导公式,了解周期函数和最小正周期的意义,了解奇函数、偶函数的意义.

3. 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.

4. 能正确地运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.

5. 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用;五点法;画正弦函数、余弦函数和函数y= Asin(mega;x )的简图,理解A、mega;、 物理意义.

6. 会由已知三角函数值求角,并会用符号

【命题研究】

分析近五年的全国高考试题,有关三角函数的内容平均每年有25分,约占17%.试题的内容主要有两方面;其一是考查三角函数的性质和图象变换;尤其是三角函数的最大值、最小值和周期,题型多为选择题和填空题;其二是考查三角函数式的恒等变形,如利用有关公式求值,解决简单的综合问题,除了在填空题和选择题中出现外,解答题的中档题也经常出现这方面的内容,是高考命题的一个常考的基础性的题型.其命题热点是章节内部的三角函数求值问题,命题新趋势是跨章节的学科综合问题.数学试题的走势,体现了新课标的理念,突出了对创新能力的考查.

如:福建卷的第17题设函数

(2)若函数 的图象按向量 平移后得到函数 #p#分页标题#e# 的图象,求实数 的值.此题;重视知识拓宽,开辟新领域;,将三角与向量知识交汇.

复习策略】

三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分,新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向,突出;和、差、倍角公式;的作用,突出正、余弦函数的主体地位,加强了对三角函数的图象与性质的考查,因此三角函数的性质是本章复习的重点.第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上,要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握,力求系统化、条理化和网络化,使之形成比较完整的知识体系;第二、三轮复习以基本综合检测题为载体,综合试题在形式上要贴近高考试题,但不能上难度.当然,这一部分知识最可能出现的是;结合实际,利用少许的三角变换(尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用)来考查三角函数性质;的命题,难度以灵活掌握倍角的余弦公式的变式运用为宜.由于三角函数解答题是基础题、常规题,属于容易题的范畴,因此,建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上,这样就能够适应未来高考命题趋势.总之,三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力.

解答三角函数高考题的一般策略:

(1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的;差异分析;.

(2)寻找联系:运用相关三角公式,找出差异之间的内在联系.

(3)合理转化:选择恰当的三角公式,促使差异的转化.

三角函数恒等变形的基本策略:

(1)常值代换:特别是用;1;的代换,如1=cos2tx=tan45s2x=(sin2x cos2x) cos2x=1 cos2x;配凑角:ads/allimg/0908/2015395633-12.gif" width="44" height="41" /> - 等.

(3)降次,即二倍角公式降次.

(4)化弦(切)法.将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切).

(5)引入辅助角.asinsads/allimg/0908/2015392153-14.gif" width="65" height="27" /> sin(ads/allimg/0908/2015395140-0.gif" width="15" height="17" /> ),这里辅助角 所在象限由a、b的符号确定, 角的值由tan = 确定.

【典型例题分析与解答

例1、

#p#分页标题#e#

解法二:(从;名;入手,异名化同名)

的图像过点 ,且 的最大值为 的解析式;(2)由函数 图像经过平移是否能得到一个奇函数解析:(1) ,解得

所以 ,将 的图像,再向右平移 单位得到 的图像先向上平移1个单位,再向右平移 单位就可以得到奇函数点评:本题考查的是三角函数的图象和性质等基础知识,这是高考命题的重点内容,应于以重视.

ng>例3、为使方程 内有解,则 的取值范围是(  )

分析一:由方程形式,可把该方程采取换元法,转化为二次函数:设sinx=t,则原方程化为 ,于是问题转化为:若关于 的一元二次方程 上有解,求 的取值范围,解法如下:

分析二: 上的值域.

解法如下:

#p#分页标题#e#

点评:换元法或方程思想也是高考考查的重点,尤其是计算型试题.

ng>例4、已知向量 的值.

所以

(2) ,所以 ,所以 ,所以点评:本小题主要考查平面向量的概念和计算,三角函数的恒等变换的基本技能,着重考查数学运算能力.平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点.

ng>例5、已知向量 ,向量 ,且

(1)求向量 与向量 的夹角为 ,向量 依次成等差数列,求 的取值范围.

解析:(1)设 ,由 ,有   ①

向量 ,有 ,则   ②

由①、②解得:  

(2)由 垂直知

,则

ads/allimg/0908/2015392954-83.gif" width="372" height="46" _x0000_i1131="" />

     = #p#分页标题#e#

ads/allimg/0908/2015396023-85.gif" width="216" height="41" _x0000_i1133="" />ads/allimg/0908/2015391V8-86.gif" width="163" height="45" _x0000_i1134="" />

ads/allimg/0908/2015391560-87.gif" width="477" height="53" _x0000_i1135="" />

ng>例6、如图,某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地,△ABC外的地方种草,△ABC的内接正方形PQRS为一水池,其余的地方种花.若BC=a,ads/allimg/0908/2015392114-88.gif" width="194" height="115" _x0000_i1137="" />

(1)用a 变化时,求 取最小值时的角解析:(1) ,则

固定,

函数 上是减函数,于是当

点评:三角函数有着广泛的应用,本题就是一个典型的范例.通过引入角度,将图形的语言转化为三角函数的符号语言,再将其转化为我们熟知的函数 的图象的一条对称轴方程是( )

A.

C. D.

2、下列函数中,以 为周期的函数是( )

A.

B.

D.

3、已知 等于( )

A.

4、已知     B. #p#分页标题#e#

C.     D.

5、函数A、 B、 C、 D、

6、如图,半径为2的⊙M切直线AB于O点,射线OC从OA出发绕着O点顺时针方向旋转到OB.旋转过程中,OC交⊙M于P,记为x,弓形PnO的面积为 ,那么 的图象是( )

7、tan15t15ng>

  A. 2    B.     C. 4    D.

8、给出下列的命题中,其中正确的个数是(  )

(1)存在实数sng>

(2)存在实数sads/allimg/0908/2015396344-123.gif" width="15" height="36" _x0000_i1177="" /> ;

(3) 的值域为( )

A. B. C. 在下面哪个区间内是增函数(  )

A.    C.

11、若点P ]内

D.

12、定义在R上的函数 即是偶函数又是周期函数,若 的最小正周期是 ,且当 ,则    B.    C.

ng>二、填空题

13、 ,且当P点从水面上浮现时开始计算时间,有以下四个结论:#p#分页标题#e#

,则其中所有正确结论的序号是        

15、给出问题:已知 ,试判定 ,去分母整理可得 .故

(1)求函数 的奇偶性.

18、(1)已知: ,求证: 的最小值为0,求x的集合.

20、在 所对的边分别为

(1)求 ,求 的最大值.

21、已知向量 ,函数 的周期为 ,当22、如图,足球比赛场的宽度为a米,球门宽为b米,在足球比赛中,甲方边锋沿球场边线,带球过人沿直线向前推进.试问:该边锋在距乙方底线多远时起脚射门可命中角的正切值最大?(注:图中表示乙方所守球门,所在直线为乙方底线,只考虑在同一平面上的情形).

ng>ng>

【试题答案】

1、A  2、D  3、A  4、A  5、A  6、A 

7、D  8、B  9、B  10、D  11、B  12、D

13、

17、解:(1)

定义域:R,最小正周期为

(2) ,且定义域关于原点对称,

所以

(2)

, #p#分页标题#e#

19、解: ,因为 ,有

亦即 ,由

解得

,最大值为0,不合题意,

,最小值为0,

时,x的集合为:

(2)   ,又 时, ,故 的最大值是

21、解:(1) 且最大值为1,所以

(2)由(1)知,令 所以 的对称轴.

22、解:以L为x轴,D点为坐标原点,建立直角坐标系,

设AB的中点为M,则根据对称性有

设动点C的坐标为 ,记

当且仅当

故该边锋在距乙方底线 时起脚射门可命中角的正切值最大.


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